Números curiosos: o todo-poderoso zero (parte II)

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Retomamos a nossa viagem pela história do zero na Grécia Antiga. Os gregos rapidamente superaram os egípcios na forma como compreendiam e utilizavam a Matemática. O sistema de numeração grego começou por ser muito semelhante ao egípcio. Consistia num sistema de base 10 com poucas diferenças na forma como os números eram escritos. Em vez de figuras, os gregos usavam letras para representar os números. A escrita grega dos números foi evoluindo para um sistema que evitava a repetição excessiva de letras. Os egípcios tinham símbolos diferentes apenas para representar as potências de base 10: 1, 10, 100=10×10, 1000=10x10x10, … Já os gregos começaram a adotar letras para outros números (2, 3, …, 20, 30, …, 200, 300, …). Veja-se um exemplo: para escrever o número 777 o sistema egípcio necessitava de 21 símbolos (7 espirais, 7 ferraduras e 7 traços), enquanto que o novo sistema grego requeria apenas 3 símbolos (a letra grega psi para 700, a letra grega ómicron para 70 e a letra grega zeta para 7).  Note-se que o sistema romano, que veio substituir o grego, acabou por ser um passo atrás na simplificação da escrita dos números (por exemplo, a escrita do 777 requer mais símbolos com algumas repetições: DCCLXXVII).

O sistema de numeração grego, tal como o egípcio, ignorou por completo o zero. O zero nasceu noutra zona do globo: no Oriente, concretamente, no Crescente Fértil do atual Iraque. O sistema de numeração babilónico era, de certa forma, invulgar. Os babilónios tinham um sistema sexagesimal, de base 60, e usavam apenas duas marcas para representar os seus números: uma cunha simples para representar o 1 e uma cunha dupla para representar o 10. Na escrita dos números de 1 a 59, o sistema de numeração dos babilónios parecia-se muito com o sistema desenvolvido pelos egípcios. Por exemplo, o número 25 era representado por duas cunhas duplas e cinco cunhas simples, com uma disposição específica (figura A). Em vez de continuar este processo indefinidamente, os babilónios tiveram uma excelente ideia: inventaram um sistema de numeração posicional, em que os números são representados por sequências de símbolos, sendo que o valor de cada símbolo depende da posição que ocupa nessa sequência. Segundo Charles Seife, autor do livro Zero: a biografia de uma ideia perigosa, publicado pela Gradiva, “o sistema de numeração babilónico era como um ábaco, inscrito simbolicamente num pequeno tijolo de argila. Cada agrupamento de símbolos representava um determinado número de pedras movidas no ábaco e, como cada coluna do ábaco, cada agrupamento tinha um valor diferente, dependendo da respetiva posição”. 

Por exemplo, no nosso sistema atual, de base 10, cada algarismo 1 do número 111=100+10+1 simboliza um valor diferente – da esquerda para a direita, “cem”, “dez” e “um”. Dez unidades constituem uma dezena, dez dezenas formam uma centena e assim sucessivamente. De igual forma, num sistema de base 60, sessenta unidades de qualquer ordem constituem uma unidade da ordem imediatamente superior. Os números de 1 a 59 formavam, então, as unidades simples ou unidades da primeira ordem; os múltiplos de 60, as unidades da segunda ordem; os múltiplos de 3600=60×60, as unidades da terceira ordem; e assim sucessivamente. Por exemplo, o número 601=10×60+1 era representado por uma cunha dupla (dez unidades da segunda ordem) e por uma cunha simples (uma unidade da primeira ordem). Este sistema de numeração posicional apresenta uma vantagem em relação aos sistemas de natureza aditiva dos egípcios e dos gregos: podemos representar números tão grandes quanto queiramos sem ter que estabelecer novos símbolos para as diferentes ordens.

O sistema de numeração babilónico apresentava, contudo, uma fragilidade decorrente da utilização sucessiva dos mesmos símbolos. Por exemplo, uma cunha simples podia representar 1, 60, 3600, … Num ábaco, é fácil indicar qual o número que se pretende representar recorrendo à coluna correspondente (uma pedra na primeira coluna é fácil de distinguir de uma pedra na segunda coluna). O mesmo já não é verdade para a escrita dos números. Os babilónios não tinham forma de indicar a ordem relativa a cada símbolo utilizado. Por exemplo, duas cunhas simples podiam representar os números 61=60+1, 3660=3600+60, 3601=3600+1 ou mesmo valores superiores.

O zero era a solução para o problema! A partir de 300 a. C., os babilónios começaram a usar duas cunhas inclinadas para representar um espaço em branco, uma coluna vazia no ábaco – o zero. Segundo Charles Seife, “o zero nasceu da necessidade de dar a uma determinada sequência de dígitos babilónicos um significado único e permanente”. Na figura B, apresentam-se alguns exemplos que mostram que a introdução das cunhas inclinadas (na terceira linha) tornou rigorosa a escrita dos números, permitindo a sua leitura sem ambiguidade.

Para os babilónios, o zero era um simples marca-lugar; um símbolo para uma casa em branco no ábaco. O zero não ocupava um lugar na hierarquia dos números; não tinha ainda assumido a sua posição estratégica na reta numérica como o número que separa os números positivos dos negativos.

Tal como os babilónios, os maias do México e da América Central criaram um sistema de numeração posicional. A diferença é que o sistema era vigesimal, de base 20. Os maias também recorriam ao zero para a escrita dos números e utilizavam dois tipos de dígitos: o tipo simples baseava-se em pontos e traços (figura C) e o tipo elaborado baseava-se em glifos (figura D). Os maias escreviam os números de cima para baixo, em vez de os escrever da esquerda para a direita. Na figura E, apresentam-se dois exemplos de aplicação do sistema de numeração posicional dos maias. Note-se que a utilização do zero permite distinguir, sem qualquer ambiguidade, a escrita dos números 37 e 417.

Apesar de a introdução do zero constituir uma clara vantagem para a escrita dos números, o Ocidente ignorou-o propositadamente; a razão: o zero era perigoso! Numa próxima oportunidade, perceberemos os motivos que estão na base desta afirmação.

 

 

 

 

 

 

 

 

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