Simetrias e truques com cartas

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Existem quatro tipos de simetria de figuras do plano: simetrias de reflexão (associadas a uma reta, que se designa por eixo de simetria), simetrias de rotação (associadas a um ponto, que se designa por centro de rotação, e a uma determinada amplitude), simetrias de translação (associadas a um determinado vetor, com uma direção, sentido e comprimento) e simetrias de reflexão deslizante (que resultam da composição de uma translação com uma reflexão de eixo paralelo ao vetor de translação).

No contexto deste artigo, interessa-nos particularmente as simetrias de rotação com amplitude de 180 graus, mais conhecidas por simetrias de meia-volta. Por exemplo, encontramos com frequência este tipo de simetria nos passeios em calçada. Se, ao nos posicionarmos de frente para a estrada ou de costas para a estrada, a configuração do desenho do passeio em calçada não se alterar, estamos na presença de simetrias de meia-volta. Muitas peças de artesanato também têm este tipo de simetria, como acontece frequentemente com naperons em renda tradicional ou bordados à mão. Se nos posicionarmos de um lado de uma mesa retangular ou do lado oposto e olharmos para um naperon com este tipo de simetria, a sua configuração permanece invariante, não se altera.

Muitas cartas do baralho tradicional apresentam este tipo de simetria. Podemos verificar facilmente que a carta 4 de espadas tem simetria de meia-volta (Figuras 1 a 3). O mesmo acontece com as cartas com reis, damas e valetes na generalidade dos baralhos de cartas. Contudo, nem todas as cartas têm este tipo de simetria. Por exemplo, podemos constatar que a carta 3 de espadas não tem simetria de meia-volta (Figuras 4 a 6): se olharmos para a carta “de pernas para o ar” a sua configuração é diferente. Já se fosse a carta 3 de ouros, a configuração seria preservada e existiria simetria de meia-volta, isto porque o símbolo do naipe de ouros tem simetria de meia-volta.

O truque que temos para apresentar baseia-se precisamente na presença ou ausência deste tipo de simetria.

Começamos por explicar como se processa o truque. Precisamos de um mágico e de um cúmplice, que podemos designar por ajudante do mágico. E, claro está, precisamos de uma pessoa da audiência, ou seja, de um voluntário.

O mágico coloca quatro cartas alinhadas em cima de uma mesa (Figura 7). Em seguida, o mágico vira-se de costas ou sai da sala. O voluntário escolhe uma carta e retira-a (Figura 8). Depois de memorizá-la, devolve a carta ao ajudante do mágico, que baralha as quatro cartas e volta a alinhá-las em cima da mesa de forma arbitrária (Figura 9). O mágico vira-se para a mesa e adivinha qual foi a carta escolhida pelo voluntário, surpreendendo toda a plateia.

Explicamos, agora, como o mágico descobre a carta escolhida pelo voluntário. Quando o voluntário devolve a carta que escolheu ao ajudante, este roda a carta 180 graus antes de a introduzir no monte de 4 cartas, de as baralhar e de voltar a colocar as cartas alinhadas na mesa. Desta forma, como o mágico conhece as quatro cartas iniciais e a sua orientação, só tem de procurar a carta que apresenta uma orientação diferente.

Para que este truque funcione na perfeição, pelos menos três das quatro cartas não devem ter simetrias de meia-volta, ficando com uma configuração diferente quando são colocadas “de pernas para o ar”. Assim, a carta escolhida pelo voluntário e colocada na mesa “de pernas para o ar” pelo ajudante do mágico será facilmente identificada pelo mágico. No exemplo apresentado (Figura 7), apenas o 5 de ouros tem simetria de meia-volta. Assim, se o mágico encontrar as quatro cartas alinhadas como no início, a carta escolhida pela voluntário terá que ser o 5 de ouros. Caso contrário, a carta com configuração diferente da inicial será a carta escolhida. No exemplo apresentado, a carta escolhida foi o 9 de paus (Figura 9).

Este truque chama-se “Klein” e é um dos muitos truques matemáticos apresentados no livro Matemagia, publicado em 2016 pela Associação Ludus, da autoria de Alexandre Silva, Pedro Freitas, Jorge Nuno Silva e Tiago Hirth, que se recomenda!

Felix Klein (1849-1925) foi um matemático alemão conhecido pelo seu trabalho que incidiu na geometria não-euclidiana e nas conexões entre a teoria dos grupos e a geometria. 

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